This page is hosted for free by zzz.com.ua, if you are owner of this page, you can remove this message and gain access to many additional features by upgrading your hosting to PRO or VIP for just 32.50 UAH.
Do you want to support owner of this site? Click here and donate to his account some amount, he will be able to use it to pay for any of our services, including removing this ad.

С.П.Іглін

Метод найменших квадратів

Вступ

Ця сторінка призначена для студентів, що вивчають курс теорії ймовірностей та математичної статистики. За її допомогою ви засвоїте тему "Регресійний аналіз (метод найменших квадратів)". Безпосередньо зі сторінки ви зможете обробити реальні дані, наприклад, виконати своє ІДЗ, навіть якщо у вас немає на комп’ютері MATLAB. Якщо ж у вас є MATLAB, перейдіть на цю сторінку: там у вас є можливість втрутитися у сценарій (програму) обчислень. А на цій сторінці задача побудови теоретичної кривої за заданими експериментальними точками розв’язується за стандартним сценарієм, який зазвичай використовується у ВНЗ при вивченні курсу теорії ймовірностей та математичної статистики.

Для правильної роботи з цією сторінкою ваш браузер повинен підтримувати сценарії Java Script. Увімкніть їх, якщо вони вимкнені.

Введення експериментальних точок

У методі найменших квадратів (МНК) за заданими експериментальними точками будується теоретична функціональна залежність. Для функції однієї змінної за n точками (xi,yi) знаходиться "найкраща" теоретична крива y=f(x).

Для цієї сторінки потрібно, щоб усі експериментальні точки (xi,yi) були записані у звичайному текстовому форматі, 2 числа у рядку: перше − це xi, а друге − yi. Для розділення цілої та дрібної частин використовуємо десятичну точку. Між числами залишаємо хоча б один пробіл. При необхідності можна перед числом проставити знак плюс або мінус. Допускається також експоненційна форма запису чисел, тобто числа виду −1.52345E−0002 чи −1.52345e−0002, що треба розуміти як −1.52345×10−2. Зразок правильного оформлення файлів вхідних даних можна завантажити звідсіля (zip-архів, 2kb, звичайний текстовий файл). Для початку його можна використати як тестовий приклад, а потім взяти свої дані.

Занесіть ваші числа в область введення, яку ви бачите нижче. У будь-якому рядку повинно бути два числа, відокремлених хоча б одним пробілом. Не ставте між числами нияких інших розділювачів, кріме пробілів: ані ком, ані крапок з комами тощо. Після запису всіх чисел в область введення натисніть кнопку Ввести експериментальні точки. Ваші числа будуть введені на сторінку. Знайдемо кількість точок n та намалюємо їх.



Перевірте, чи всі числа введені. Скріпт сторінки не відслідковує помилки, він просто відкидає нечислові дані та пропускає їх. Тому порівняйте кількість введених чисел з тим, що має бути. Якщо все правильно, йдемо далі.

Вибір базисних функцій

Ми розглянемо лише один найпростіший варіант МНК: представлення теоретичної залежності у вигляді лінійної комбінації відомих, заданих заздалегідь функцій, які називають базисними:

Тут b1, b2, ..., bm − коефіцієнти, що визначаються за МНК, а φ1(x), φ2(x), ..., φm(x) − обрані заздалегідь з теоретичних міркувань функції (базисні), які повинні бути лінійно-незалежними на множині точок x1, x2, ..., xn. Оберіть необхідні базисні функції та додайте їх до моделі. При написанні функції треба дотримуватися правил, що відповідають синтаксису мови Javascript:

Приклади допустимих базисних функцій: pow(x,2), sqrt(x), sin(pi*(x-xmin)/(xmax-xmin)), 1, 0.5 тощо.

Додайте у модель базисну функцію:

Побудова теоретичної кривої

Згідно МНК коефіцієнти моделі (1) знаходяться з умови:

Ця функція є квадратичною відносно b1, b2, ..., bm. Обчисливши частинні похідні від неї та дорівнявши їх до нуля, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно b1, b2, ..., bm:

Якщо базисні функції лінійно-незалежні, то ця система має єдиний розв’язок: коефіцієнти моделі b1, b2, ..., bm. Знайдемо їх та побудуємо графік, на якому покажемо експериментальні точки та знайдену теоретичну криву.