This page is hosted for free by zzz.com.ua, if you are owner of this page, you can remove this message and gain access to many additional features by upgrading your hosting to PRO or VIP for just 32.50 UAH.
Do you want to support owner of this site? Click here and donate to his account some amount, he will be able to use it to pay for any of our services, including removing this ad.

Балка с жорстким защемленням справа

Вступ

На цій сторінці ми проведемо повний розрахунок балки з жорстким защемленням справа (мал.1) під дією довільної системи згинаючих моментів, зосреджених сил, сталих та лінінйно розподілених навантажень, розташованих у вертикальній площині.

Ця сторінка призначена для студентів, що вивчають опір матеріалів. Безпосередньо на цій сторінці ви можете виконати своє ІДЗ, навіть якщо у вас немає на комп’ютері MATLAB. Якщо ж у вас є MATLAB, перейдіть на цю сторінку: там у вас є можливість втрутитися у сценарій (програму) обчислень. А на цій сторінці виконання ІДЗ проводиться за стандартним сценарієм, який зазвичай використовується у ВНЗ при вивченні курсу опірмату.

Для правильної роботи з цією сторінкою ваш браузер повинен підтримувати сценарії Java Script. Увімкніть їх.

Цей посібник допоможе вам спростити виконання цього ІДЗ. Як і будь-який помічник, він не позбавляє вас від необхідності думати. Використовуючи цей посібник, ви отримаєте технічну допомогу, позбудитесь прикрих помилок обчислень, але розуміти суть проблеми вам все одно треба. Але не лякайтесь: якщо ви змогли знайти цю сторінку в Internet, то розібратися у виконанні цього завдання напевно зможете.

Оберемо систему координат так, як показано на мал.2.

Початок системи координат O розмістимо на лівому вільному кінці, вісь Oz спрямуємо вздовж осі балки, а осі Ox та Oy − вздовж головних центральних осей інерції. Вважаємо, що всі силові фактори діють у плошині yOz, як показано на мал.2.

Будемо використовувати правило знаків плюс-плюс-плюс-плюс:

У відповідності до [1] оберемо додатний напрям прогину w(z) вгору, у бік додатного напрямку осі Oy (мал.3).

Тоді додатні значення кутів повороту θ(z) будуть відповідати зростанню прогину w(z), а від’ємні − спаданню (мал.4).

Згинаючий момент − це друга похідна від прогину (з точністю до множника) та перша похідна від кута повороту θ(z) (знов-таки з точністю до множника); тому додатне значення момента M(z) відповідає зростанню кута повороту θ(z), тобто згину балки опуклістю вниз, а овід’ємний M(z) − згину опуклістю вгору (мал.5).

При побудові епюр ми будемо розрізати балку при даному значенні аргументу z, відкидати ліву частину та заміняти її еквівалентною системою сил та моментів. Додатне значення M(z) (опуклістю вниз) при цьому дає момент, спрямований за ходом годинникової стрілки (мал.6).

Тому у вхідних даних зосереджені моменти будемо задавати додатними, якщо вони спрямовані за ходом годинникової стрілки.

Розглянемо тепер правило знаків для перерізних сил. У відповідності до (3) додатною будемо вважати таку силу Q(z), яка відповідає зростанню згинаючого момента M(z) при зростанні z. Наочно уявити собі зростання угнутості важко, тому застосуємо інше правило для визначення знаку Q(z). Замінимо відрізану ліву частину такою силою, яка відповідає збільшенню M(z) (мал.7). Оскільки момент дорівнює добутку сили на плече, то додатне значення зосередженої сили відповідає її напрямку вгору. Така сила намагається повернути елемент балки за ходом годинникової стрілки.

І, нарешті, виведемо правило знаків для розподіленого навантаження q(z). Додатна q(z) відповідає зростанню перерізної сили Q(z). На мал.8 показаний додатний напрям q(z): вгору. Саме такий напрям q(z) відповідає зростанню Q(z).

Підсумуємо все сказане вище. При задаванні вхідних даних будемо вважати:

При побудові епюр будемо користуватися формулами (1-4). Вважаємо:

Введення вхідних даних

У цьому методичному посібнику можна використовувати такі навантаження:

Якщо у вашому ВНЗ викладачі задають студентам інші види навантаження (розподілені моменти тощо) − напишіть мені, і ми разом доопрацюємо цей посібник.

Вхідними даними для цього ІДЗ є довжина балки L та навантаження на неї: значення M, F, q та точки (інтервали) їхнього прикладання. Для підбирання двотаврового профіля з умов міцності треба також задати модуль пружності E та допустиме напруження [σ]. Задайте їх у таблицях, що знаходяться нижче.

Змінить за необхідимості ці дані:
Довжина балки L (м):
Модуль пружності E (МПа):
 Допустиме напруження [σ] (МПа): 

Додайте потрібні навантаження:
Зосереджений момент M
та точка a його прикладання
M (кНм):
a (м):
Зосереджена сила F
та точка a її прикладання
F (кН):
a (м):
Лінійно розподілене навантаження (qa, qb)
та інтервал (a, b) його дії.
Для рівномірного навантаження задавайте qa = qb.
qa (кН/м):
qb (кН/м):
a (м):
b (м):

Перевірте, чи правильно ви задали вхідні дані. Якщо так, то йдемо далі.

Побудова епюр перерізних сил та згинаючих моментів

Наша балка є статично визначеною: невідомі реакції опор можуть бути знайдені з рівнянь статики. Усього таких рівнянь у плоскому випадку 3, але одне з них (сума проекцій усіх сил на вісь Oz дорівнює нулю) обертається на тотожність. Залишається 2 рівняння: сума проекцій усіх сил на вісь Oy дорівнює нулю та сума моментів усіх сил відносно якоїсь точки дорівнює нулю. З цих рівнянь можна знайти невідомі реакції в защемленні, але нам немає сенсу цього робити: оскільки ми будемо будувати епюри, відкидаючи частину балки ліворуч від поточного перерізу, ці реакції знайдуться автоматично. Тому переходимо відразу до побудови епюр.

На кожній ділянці епюри M(z) та Q(z) мають свій аналітичний вираз. Знайдемо загальну кількість ділянок та точки перемикання аналітичних виразів. Цими точками будуть початок і кінець балки (тобто 0 та L), і всі точки прикладання всіх навантажень (для q беремо і початок, і кінець прикладання навантаження).

Будуємо епюру перерізних сил. Щоб отримати Q(z) в кожному перерізі z, додаємо всі сили зліва від нього:

де

кутовий коефіцієнт k-о розподіленого навантаження. Для сталого розподіленого навантаження він дорівнює нулю. У першій сумі ak − точка прикладання зосередженої сили Fk; в інших сумах сумах a1k та b2k − початок та кінець прикладання розподіленого навантаження. Значення зосереджених сил − це Fk, а qak та qbk − значення розподіленого навантаження на початку та в кінці проміжку його дії. Записуємо аналітичні вирази для Q(z) на кожній ділянці та будуємо графік.

Тепер переходимо до згинаючих моментів. Формула для їхнього обчислення у кожному перерізі − це сума моментів від усіх сил, розташованих ліворуч від цього перерізу:

Сенс ak, bk та ck − тот самий, що й у попередній формулі. Записуємо аналітичні вирази для M(z) на кожній ділянці та будуємо епюру.

Підбирання перерізу з умов міцності

Знайдемо максимальний (за модулем) згинаючий момент Mmax та переріз, в якому він досягається (небезпечний переріз).

Із співвідношення

знаходимо мінімально допустимий момент опору перерізу:

Перевіримо тепер дотичні напруження. В кожному перерізі вони підраховуються за формулою Журавського:

Знайдемо дотичні напруження в двох перерізах: у тому, де досягається максимальний згинаючий момент, і в тому, де досягається максимальна перерізна сила.

Як правило, дотичні напруження значно менші за нормальні в одному й тому ж перерізі, до того ж вони досягаються на різних волокнах: нормальні − на крайніх, а дотичні − в середині перерізу. Тому небезпечними є зазвичай нормальні напруження.

Намалюємо розподіл нормальних та дотичних напружень у перерізі. Нормальні напруження розподілені лінійно, а дотичні − за параболою. Ми будуємо епюру розподілу дотичних напружень наближено: заміняємо двотавр набором прямокутників. Обчислюємо за формулою (12) напруження у крайніх волокнах тонкої вертикальної стійки та на внутрішніх волокнах широкої горизонтальної полички. На стійці будуємо параболу, а на короткій поличці обмежуємося прямолінійним відрізком. Малюємо на одному малюнку переріз, розподіл нормальних та дотичних напружень у небезпечному перерізі (там, де досягається Mmax), та розподіл дотичних напружень у тому перерізі, де досягається Qmax.

Побудова епюр прогинів та кутів повороту

Прогини та кути повороту пов’язані зі згинаючими моментами співвідношеннями (1-2). Вирази для M(z) в нас є: це (7). Тому EJxθ(z) та EJxw(z) знайдемо інтегруванням виразу (7). Довільні сталі при цьому будуть дорівнювати невідомим переміщенню та куту повороту початкового перерізу EJxθ(0) та EJxw(0). Інтегруємо:

Невідомі початкові параметри EJxw(0) та EJxθ(0) знайдемо з умов: прогин та кут повороту в защемленні (при x=L) дорівнюють нулю:

Виходячи з формули (11), складаємо 1-е рівняння (14). Розв’язавши його, знайдемо EJxθ(0).

Тепер, виходячи з формули (12), створюємо 2-е рівняння (13) та розв’язуємо його. Знаходимо EJxw(0).

За отриманими формулами будуємо епюри кутів повороту та переміщень. Як і раніше, спочатку записуємо аналітичні вирази для EJxθ(z) та EJxw(z) на різних ділянках, а потім будуємо графіки θ(z) та w(z). Знаходимо максимальне переміщення та точку, де воно досягається.

Що робити далі

Можливо, ви захочите надрукувати результати. Якщо перекинути вміст сторінки, наприклад, в MS Office-Word або Libre Office-Writer, то формули та графіки спотворяться, оскільки вони зроблені не як малюнки, а як вбудовані об’єкти. Тому краще роздрукувати сторінку безпосередньо з браузера або зробити скріншоти.

Література

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. - 2-е изд., перераб. И доп. - Киев: Наукова думка, 1988. - 7736 с. - ISSN 5-12-000299-4.