This page is hosted for free by zzz.com.ua, if you are owner of this page, you can remove this message and gain access to many additional features by upgrading your hosting to PRO or VIP for just 32.50 UAH.
Do you want to support owner of this site? Click here and donate to his account some amount, he will be able to use it to pay for any of our services, including removing this ad.

Геометричні характеристики плоских перерізів

Вступ

Ця сторінка призначена для студентів, що вивчають опір матеріалів. За її допомогою ви засвоїте тему "Геометричні характеристики плоских перерізів". Безпосередньо на цій сторінці ви можете виконати своє ІДЗ, навіть якщо у вас немає на комп’ютері MATLAB. Якщо ж у вас є MATLAB, перейдіть на цю сторінку: там у вас є можливість втрутитися у сценарій (програму) обчислень. А на цій сторінці виконання ІДЗ проводиться за стандартним сценарієм, який зазвичай використовується у ВНЗ при вивченні курсу опірмату.

Для правильної роботи з цією сторінкою ваш браузер повинен підтримувати сценарії Java Script. Увімкніть їх.

Як правило, індивідуальне домашнє завдання з цієї теми є першим ІДЗ з опірмату, яке виконують студенти. В ньому зазвичай задаються декілька профілів (двотаври, швелери, кутки тощо), поєднані одне з одним, і треба обчислити геометричні характеристики такого складного перерізу та знайти головні центральні осі інерції.

Цей посібник допоможе вам спростити виконання цього ІДЗ. Як і будь-який помічник, він не позбавляє вас від необхідності думати. Використовуючи цей посібник, ви отримаєте технічну допомогу, позбудитесь прикрих помилок обчислень, але розуміти суть проблеми вам все одно треба. Але не лякайтесь: якщо ви змогли знайти цю сторінку в Internet, то розібратися у виконанні цього завдання напевно зможете.

У цьому методичному посібнику можна використовувати такі прості перерізи:

Якщо у вашому ВНЗ викладачі задають студентам інші профілі − напишіть мені, и ми разом доопрацюємо цей посібник.

Таблиці для сортаментів взяті з [1]. Червона точка на кожному малюнку − це точка прив’язки (див. далі пункт Введення вхідних даних).

Введення вхідних даних

Вхідними даними для виконання цього ІДЗ є різні профілі, що якось поєднані між собою. Для введення вхідних даних нам треба знати:

Для введення вхідних даних призначені поля введення, що знаходяться нижче, списки та кнопки. Оберіть потрібні профілі та додайте їх на малюнок. Для прямокутної полоси треба задати її розміри (ширину b та висоту h), а для інших профілів − їхні номери (сортамент). Крім того, треба також задати взаємне розташування профілів. Для цього й існує точка прив’язки. Щоб вказати положення профіля на малюнку, треба задати координати точки прив’язки та кут повороту профіля відносно стандартного положення, показаного на мал.1-6. Вкажіть координати точки прив’язки x0 та y0 (в сантиметрах) та кут повороту кожного профіля α (в градусах, додатний − проти ходу годинникової стрілки).

Додайте потрібні профілі
b (см) h (см) x0 (см) y0 (см) α (градусів)
Двотавр
Швелер
Кут. рівн.
Кут. нерівн.
Кут. нерівн. відб.

Перевірте, чи правильно ввелися ваші вхідні дані. Якщо так, то йдемо далі.

Знаходження центральних та головних центральних осей інерції

Якщо ви ввели вхідні дані, то в останній таблиці наведені взяті з таблиць (або обчислені) моменти інерції відносно центру мас для фігур, положення яких показане на мал.1-6. Але в нас деякі з фігур повернуті на кут αk. При такому повороті нові моменти інерції відносно центру мас обчислюються через старі за формулами:

Тут Jxk, Jyk та Jxyk − моменти інерції неповернутого k-го перерізу, Jx1k, Jy1k та Jxy1k − моменти інерції повернутого k-го перерізу, αk − кут повороту k-го перерізу.

Координати центрів мас перерізів у цій таблиці також записані для неповернутих фігур та відносно їхніх точок прив’язки. Але в нас кожна фігура може бути повернутою та зміщеною. Для обчислення нових координат центрів мас через старі застосовуються формули повороту та паралельного перенесення:

Тут xc0k, yc0k − координати центру мас k фігури відносно її точки прив’язки (старі); xc1k, yc1k − координати центру мас k фігури відносно початку нашої системи координат (нові); x0k, y0k − координати точки прив’язки k фігури в нашій системі координат. Обчислюємо за формулами (1-5) та друкуємо результати.

Знаходимо центр мас перерізу за формулами

У цих формулах xc1k, yc1k − координати центру мас k фігури, Fk − її площа; xc, yc − координати центру мас усього перерізу. Обчислюємо за формулами (6-7):

Перенесемо початок системи координат у знайдену точку. Осі отриманої системи координат називаються центральними (поки ще не головними центральними, а просто центральними). Для такого перенесення треба від координат центру мас кожної фігури xc1k, yc1k відняти координати загальгого центру мас xc, yc:

Крім того, обчислимо моменти інерції кожної фігури відносно загального центру мас xc, yc. Для цього використовуємо формули:

Знаходимо загальні моменти інерції всього перерізу − це суми моментів інерції окремих профілів:

Тепер переходимо до знаходження головних центральних осей інерції та головних моментів інерції. Ми знаємо, що при повороті перерізу на кут α моменти інерції змінюються за формулами (1-3). При повороті на деякий кут можна домогтися того, що відцентровий момент інерції стане дорівнювати нулю. Отримані осі й називаються головними центральними. Відповідний кут повороту отримаємо, дорівнюючи вираз (3) до нуля (тільки не для окремого профилю, а вже для всього перерізу):

Позначимо отримані головні центральні оси uOv. У цій системі моменти інерції (вони називаються головними) будуть визначатися за формулами типу (1-3), але з від’ємним α, тому що ми обертаємо не профіль, а осі:

Якщо все зроблено вірно, ми повинні отримати Juv = 0. Головні центральні моменти інерції мають таку властивість, що Ju − це мінімальний з усіх можливих осьових моментів інерції, а Jv − максимальний. Знаходимо положення головних центральних осей та значення головних моментів інерції:

Що робити далі

Можливо, ви захочите надрукувати результати. Якщо перекинути вміст сторінки, наприклад, в MS Office-Word або Libre Office-Writer, то формули та графіки спотворяться, оскільки вони зроблені не як малюнки, а як вбудовані об’єкти. Тому краще роздрукувати сторінку безпосередньо з браузера або зробити скріншоти.

Література

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. - 2-е изд., перераб. И доп. - Киев: Наукова думка, 1988. - 7736 с. - ISSN 5-12-000299-4.